PRO:ZKSwap团队解读零知识证明算法之Bulletproofs：Arithmetic Circuits_PROT

Bulleproofs算法有两个方面的应用。

一个是Rangeproof：

第一讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof1

第二讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof2

第三讲：?理解零知识证明算法之Bulletproofs--RangeProof3

另一个是generalarithmeticcircuits，本编文章就来主要分享Bulletproofs在后者上的应用。

ArithmeticCircuits

ETH波段交易巨鲸从Binance提出8400ETH:金色财经报道，据链上分析师余烬监测，北京时间1:38，最近一直波段 ETH 的巨鲸已再次将 1598 万 USDT 转入 Binance。 至少在 5 月份以来，他几次将 ETH 转入 Binance 时都是短期高点，然后在相对低点的时候买入 ETH。 刚才从 Binance 提出了 8400 ETH 。[2023/6/8 21:23:10]

了解ZK-SNARK算法应该都知道算术环路的概念，下面一张图展示了zk-snark算法中，算术环路的设计规则。

Circuit设计规则：

1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；

Defrost Finance：已部署退款合约，明日将开放退款申请:1月10日消息，此前遭黑客攻击的Avalanche生态原生稳定币项目Defrost Finance宣布已部署退款合约，将于1月11日01:01开放退款。Defrost Finance建议用户尽早申请退款。

此前报道，Defrost Finance于2022年12月份曾遭到攻击，损失估计超过1200万美元。此外，Defrost Finance团队称此前参与V1黑客攻击的黑客已归还资金。[2023/1/10 11:04:52]

2.不标记通过加法门连接乘法门的线，如图中绿线，仅起到连接作用；

3.同一条线直接或间接连接多个乘法门，仅表示为一条有效的线，为了方便理解，用紫色虚线表示其连接关系；

Creepz Genesis系列NFT近24小时交易额增幅超600%:金色财经报道，OpenSea数据显示，Creepz Genesis系列NFT近24小时交易额为160 ETH，增幅达687%。24小时交易额排名位列OpenSea第9。[2022/10/5 18:39:52]

4.MulGate处的取值为图中红色字体所示

5.黄色线条为有效连接线

6.橙色线条表示MulGate对应的一阶约束

那Bulletproofs算法的算术环路的设计规则是什么样的呢？我们看看下图。

Circuit设计规则：

1.由乘法门和加法门组成，每个门固定两个输入一个输出；

2.不标记加法门

3.不标记有常量的乘法门

4.红色字体表示乘法门的索引

5.黄色字体表示乘法门的输入和输出

6.橙色线条表示乘法门对应的一阶约束

7.蓝色线条表示相邻乘法门间的一致性约束

因此，一个完整有效的算数电路应该满足：

1.每个乘法门对应的的约束成立

2.乘法门之间的一致性约束成立

Zk-snark的算术电路通过R1CS满足了上述两个条件。

1.每个R1CS表示一个乘法门的约束

2.相邻乘法门的输出是下一个乘法门的输入，如图中的y,sym_1,sym_2

Bulletproofs的算术环路以通过以下两种方式满足上述两个条件：

1.每个乘法门对应的约束成立

2.上个乘法门的输出等于下个乘法门的输入。

看起来两个算法的证明一个算术电路有效的思想是一样，但是由于两个电路的标注规则不同，就产生两个不同的约束结果。

Zk-snark算法以validwires为基本要素，每个wire有左输入，右输入，和输出三个属性

Bulletproofs算法以validMulgate为基本要素，每个Mulgate有左输入，右输入和输出三个属性

最后，附上一张对比图：

总结以上可以看出，对数算术环路的满足性问题，不同的算法具有不同的电路描述方式。Zk-snark算法由Circuits转化到QAP，最终生成的证据仅仅再几十个字节大小；

Bulletproofs的算法由Circuits转化到innerproductor，生成的证明的大小和算术电路的乘法门的个数n有关O(log(n*Q)，电路越大，证据越大。

附录

1.Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611

2.BCG+讲述了算术电路的另外一种描述形式?https://eprint.iacr.org/2017/1066.pdf

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